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FO.ES.D.01 V 1.3 |
MATERIA: |
ÁLGEBRA LINEAL
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Código : |
BM1074
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Duración : |
Del 16-05-2022 Al 30-06-2022
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Horario : |
A ( 07:45 a 09:45 )
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Aula : |
AULA - A 09
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Nombre del docente : |
SANTIAGO DETERLINO RELOS PACO
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Lugar y horario de atención a estudiantes : |
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Formato de silabo : |
 MoAm2020 |
NOMBRE DE LA MATERIA
INFORMACIÓN DEL DOCENTE
1. Nombre: Santiago Relos Paco
2. Formación: Magister en Matemáticas (UCANORTE-CHILE)
3. Cargo: Docente medio tiempo del Departamento de Ciencias Exactas Campus UPB Cochabamba.
4. Asignaturas relacionadas que imparte. Matemáticas para Ingeniería I, Matemáticas para Ingeniería II, Matemáticas para Ingeniería III, Álgebra lineal, Preuniversitario.
5. Trayectoria: Docente del departamento de Ciencias exactas de la UOB desde 1999. Catedrático titular en el área de Análisis y Cálculo I en la Universidad Mayor de San Simón, Facultad de Ciencias y Tecnología. Autor de los siguientes libros: Cálculo I, Cálculo II, Álgebra Lineal, Preuniversitario, Matemáticas para Ing. III. Creador y programador principal en Amaru-Soft.
ATENCIÓN A LOS ESTUDIANTES
Estoy disponible para aclarar cualquier duda acerca de la materia en los horarios: 8:00 – 10:00 y durante las tardes hasta las 17:00. Los estudiantes pueden contactarme por medio del chat de la plataforma virtual, correo: srelos@upb.edu o por WhatsApp: 67549685. Estaré atento para contestar lo más rápido posible para que continúen con el proceso de aprendizaje. Los sábados, domingos y feriados no se atenderá mensajes.
PRESENTACIÓN DE LA MATERIA
El Álgebra Lineal se constituye actualmente en una de las disciplinas matemáticas que mayores aplicaciones tiene en ciencias administrativas, sociales y tecnológicas. Las técnicas del álgebra lineal por otra parte se emplean en materias curriculares de nuestra universidad como Matemáticas para Ingeniería II, Matemáticas III, Ecuaciones diferenciales, Investigación Operativa I y II, Procesos de señales, etc.
CÓDIGO DE CONDUCTA. PRINCIPIOS Y NORMAS
Son normas del curso todas las que se encuentran en los Reglamentos y disposiciones particulares o especiales emitidas por las autoridades de la Universidad. Su ignorancia no exime de responsabilidad ni a estudiantes ni docentes. La ASISTENCIA es obligatoria en todas las clases, así como la participación en todas las actividades programadas en la plataforma de la UPB Virtual. Los casos de ausencia a clase o inasistencia a exámenes se rigen por lo dispuesto en el Reglamento Estudiantil: sólo se permite el equivalente de una Falta de Asistencia por crédito académico. La postergación de exámenes requiere autorización previa tramitada ante la Decanatura de Admisiones y Asuntos Estudiantiles y el previo pago extraordinario de tasas, sin embargo, si la ausencia el día del examen excediese el límite de faltas, el estudiante pierde el derecho a rendir las pruebas de evaluación. Se considera una FALTA DE ASISTENCIA tanto la inasistencia como el hecho de que un estudiante ingrese tarde a la clase o la abandone antes de que concluya. Con el fin de desarrollar el hábito de la PUNTUALIDAD, la materia se inicia a la hora programada. No existe tiempo de tolerancia para ingresar con atraso al aula física o remota. Asimismo, las horas de cierre de actividades en la plataforma de la UPB Virtual son inamovibles. La DISCIPLINA y la ACTITUD POSITIVA son condiciones para un aprendizaje efectivo. En ese sentido, se espera que los estudiantes mantengan un ambiente disciplinado en el aula y brinden un trato respetuoso al docente, con una actitud positiva antes y durante las actividades de aprendizaje. El estudiante que emplee teléfonos celulares y recursos tecnológicos de manera distractiva o lúdica, recibirá la sanción de expulsión del aula real o remota y la anotación de una Falta de Asistencia. La Universidad promueve la HONESTIDAD ACADÉMICA, Por las características especiales de alguna tarea, es posible que se instruya el uso de alguna otra norma de citación. El fraude académico y el plagio en exámenes, trabajos, prácticas u otra actividad curricular, es sancionado con la reprobación de la materia, además de la pérdida del derecho a ingresar al cuadro de honor y a la graduación con mención. La reincidencia causa el inicio de un proceso disciplinario universitario que puede concluir con la suspensión o expulsión de la Universidad. Se considera fraude académico a la presentación de documentos o trabajos de cualquier tipo que no son -total o parcialmente- obra de quien los presenta como si fuesen de su autoría, o que en su elaboración participa o intenta participar una persona no autorizada. También se considera fraude académico a la acción de acceder o intentar acceder a información o recursos no autorizados durante una prueba de evaluación. La LIBERTAD DE PENSAMIENTO, el RESPETO a la dignidad humana, las formas correctas de relacionamiento interpersonal y la NO DISCRIMINACIÓN son valores promovidos y aplicados en todas las actividades. Para rendir las pruebas sumativas del primer examen parcial, el estudiante debe estar inscrito en la materia.
COMPETENCIAS DE SALIDA
Competencias básicas
COMPETENCIA DIGITAL. En el entorno digital, crear y evaluar datos e información, resolver problemas, comunicarse y colaborar, cumpliendo estándares de seguridad informática (Aplicación, Análisis, Evaluación).
COMPETENCIA MATEMÁTICA. Reconocer, resolver y analizar los distintos problemas que puedan resolverse usando sistemas de ecuaciones lineales o que requieran el uso de almacenamiento y manejo de datos en matrices y vectores (Aplicación, Análisis, Evaluación).
Competencias genéricas
CREATIVIDAD E INNOVACIÓN. Generar ideas y soluciones nuevas, novedosas, originales y diferentes, dirigidas a resolver problemas o necesidades en diferentes situaciones o contextos, con el propósito de crear valor de manera sostenible, que se encuentre al alcance y disposición de la sociedad (Aplicación, análisis, evaluación).
COMPETITIVIDAD Y MOTIVACIÓN PARA LA EXCELENCIA. Desarrollar ventajas competitivas personales y organizacionales, buscando obtener una posición destacada respecto a sus competidores, planeando y ejecutando con criterios de excelencia sus actividades de formación y profesionales (Aplicación, análisis, evaluación).
PENSAMIENTO CRÍTICO Y RAZONAMIENTO CIENTÍFICO. Cuestionar, analizar, interpretar, sintetizar, valorar y emitir juicios razonados sobre situaciones complejas con una actitud abierta, reflexiva y constructiva, procurando alcanzar la comprensión profunda de los hechos y desarrollar conocimientos, conductas o actitudes que se adaptan a estas situaciones o las transforman. Asimismo, acceder al conocimiento científico aplicando sus métodos, para aproximarse objetivamente a la realidad y obtener o rechazar resultados científicos (Aplicación, análisis, evaluación).
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE DE LA MATERIA
Objetivo general:
El estudiante debe saber implementar la metodología del proceso estadístico en cualquier decisión que se quiera tomar en la empresa, como una herramienta de ayuda a la toma de decisiones.
Objetivos específicos:
- Conocer y aplicar los pasos de resolución de un sistema de ecuaciones lineales.
- Conocer y aplicar el análisis de Espacios y subespacios vectoriales.
- Conocer y aplicar los análisis referidos a las Transformaciones lineales y sus aplicaciones.
PROGRAMACIÓN DE LAS UNIDADES Y SESIONES DE APRENDIZAJE, CON DETALLE DE LOS RECURSOS Y LAS ACTIVIDADES OBLIGATORIAS
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Matrices Objetivo: Entender el uso de una matriz y las herramientas para extraer su información real. |
SESIÓN 1 Definición, operaciones y Reducción de Gauss. Objetivo: Aprender a ejecutar todas las operaciones necesarias sobre una matriz. Contenido: Definición, operaciones, transposición, reducción de Gauss. Material de estudio: 1) Texto de Álgebra lineal. Capítulo 1. Antes de la clase: 1) Leer el sílabo. Después de la clase: 1) Resolver los ejercicios propuestos en el texto. (Secciones 1 y 2). Resultados de aprendizaje: 1) Resolver los ejercicios y tener un entendimieno claro sobre la teoría. |
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UNIDAD 2 Determinante y rango de una matriz Objetivo: Entender la definición de determinante y rango de una matriz y dominar los distintos métodos para hallarlos. |
SESIÓN 1 Determinantes Objetivo: Calcular el determinante de una matriz y hallar su rango Contenido: Métodos de determinante, propiedades de determinante, definición de rango. Material de estudio: 1) Texto de Álgebra lineal. Capítulo 1. Antes de la clase: 1) Repasar la clase anterior Después de la clase: 1) Resolver los ejercicios propuestos (Sección 3). Resultados de aprendizaje: 1) Resolver los ejercicios propuestos. |
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UNIDAD 3 Sistemas de ecuaciones lineales Objetivo: Entender y resolver un sistema de ecuaciones lineales de cualquier dimensión. |
SESIÓN 1 Teorema de existencia de soluciones Objetivo: Saber distinguir el número de soluciones de un sistema de acuerdo a sus características. Contenido: Teorema de existencia. Solución única, infinitas soluciones, ninguna solución. Material de estudio: 1) Texto de Álgebra lineal. Capítulo 3. Antes de la clase: 1) Repasar la clase anterior Después de la clase: 1) Resolver los ejercicios propuestos del capítulo 3. Resultados de aprendizaje: Resolver la Práctica del Capítulo 3.
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SESIÓN 2 Solución completa de un sistema de ecuaciones Objetivo: Poder resolver el sistema en cualquiera de sus escenarios posibles. Contenido: Matriz aumentada, reducción de Gauss. Material de estudio: 1) Texto de Álgebra lineal. Capítulo 3. Antes de la clase: 1) Repasar el avance de la anterior sesión Después de la clase: 1) Resolver los ejercicios propuestos del capítulo 3
SESIÓN 4 Criptografía Objetivo: Entender los conceptos de criptografía de datos, matriz clave y congruencia modular. Contenido: Congruencia modular, encriptación y desencriptación de datos. Material de estudio: 1) Texto de Álgebra lineal. Capítulo 3. Antes de la clase: 1) Repasar el avance de la anterior sesión Después de la clase: 1) Resolver los ejercicios propuestos del capítulo 3 Resultados de aprendizaje: 1) Resolver la Práctica del Capítulo 3. |
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UNIDAD 4 Espacios Vectoriales Objetivo: Entender y aplicar los conceptos de Espacios y Subespacios vectoriales. |
SESIÓN 1 Espacios y subespacios vectoriales Objetivo: Entender las definiciones y propiedades de kis espacios y subespacios vectoriales. Contenido: 8 Propiedades de un espacio vectorial, definición de subespacio vectorial. Material de estudio: 1) Texto de Álgebra lineal. Capítulo 4. Antes de la clase: 1) Ninguna actividad Después de la clase: 1) Resolver los ejercicios propuestos del capítulo 4. Resultados de aprendizaje: 1) Resolver la Práctica del Capítulo 4. |
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SESIÓN 2 Combinaciones lineales y dependencia lineal Objetivo: Combinar vectores linealmente y entender la definición de dependencia o independencia lineal. Contenido: Combinación lineal, dependencia lineal. Material de estudio: 1) Texto de Álgebra lineal. Capítulo 4. Antes de la clase: 1) Repasar el contenido de la clase anterior. Después de la clase: 1) Resolver los ejercicios propuestos del capítulo 4. Resultados de aprendizaje: 1) Resolver la Práctica del Capítulo 4. Después de la clase: 1) Resolver los ejercicios propuestos del capítulo 4. Resultados de aprendizaje: 1) Resolver la Práctica del Capítulo 4. SESIÓN 3 Base y dimensión Objetivo: Poder hallar y distinguir la base y la dimensión de un espacio o subespacio vectorial. Contenido: Base, dimensión. Material de estudio: 1) Texto de Álgebra lineal. Capítulo 4. Antes de la clase: 1) Repasar el contenido de la clase anterior. Después de la clase: 1) Resolver los ejercicios propuestos del capítulo 4. Resultados de aprendizaje: 1) Resolver la Práctica del Capítulo 4.
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UNIDAD 5 Espacio Producto interno Objetivo: Entender el concepto del producto interno entre dos vectores y la forma en la que este ordena el espacio vectorial. |
SESIÓN 1 Producto interno y norma de un vector Objetivo: Calcular el producto interno entre dos vetores, la norma de un vector y la distancia entre puntos. Contenido: Producto interno, norma de un vector. Material de estudio: 1) Texto de Álgebra lineal. Capítulo 5. Antes de la clase: 1) Ninguna actividad Después de la clase: 1) Resolver los ejercicios propuestos del capítulo 5. Resultados de aprendizaje: 1) Resolver la Práctica del Capítulo 5. |
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SESIÓN 2 Proyección ortogonal y Bases ortogonales Objetivo: Entender la proyección de un vector sobre otro. Contenido: Proyección ortogonal. Material de estudio: 1) Texto de Álgebra lineal. Capítulo 5. Antes de la clase: 1) Repasar el contenido de la anterior sesión. Después de la clase: 1) Resolver los ejercicios propuestos del capítulo 5. Resultados de aprendizaje: 1) Resolver la Práctica del Capítulo 5. |
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SESIÓN 3 Bases ortonormales Objetivo: Construir bases ortonormales a partir de uma base cualquiera. Contenido: Vectores unitarios, Proceso de Gram-Schmidt. Material de estudio: 1) Texto de Probabilidad y Estadística. Capítulo 5. Antes de la clase: 1) Repasar el contenido de la anterior sesión. Después de la clase: 1) Resolver los ejercicios propuestos del capítulo 5. Resultados de aprendizaje: 1) Resolver la Práctica del Capítulo 5. |
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UNIDAD 6 Autovalores y autovectores Objetivo: Entender el concepto y poder calcular los autovalores y autovectores asociados a una matriz cuadrada |
SESIÓN 1 Autovalores y autovectores Objetivo: Hallar los autovectores y autovectores de una matriz cuadrada Contenido: Polinomio característico de una matriz, Autovalores y autovectores. Material de estudio: 1) Texto de Álgebra lineal. Capítulo 6. Antes de la clase: 1) Ninguna actividad Después de la clase: Resolver los ejercicios propuestos del capítulo 6. Resultados de aprendizaje: 1) Resolver la Práctica del Capítulo 6. |
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SESIÓN 2 Matrices diagonalizables Objetivo: Distinguir matrices diagonalizables y aprender el proceso de diagonalización Contenido: Multiplicidad algebraica y multiplicidad geométrica, matrices semejantes. Diagonalización ortonormal. Material de estudio: 1) Texto de Álgebra lineal. Capítulo 6. Antes de la clase: 1) Repasar el contenido de la sesión anterior. Después de la clase: Resolver los ejercicios propuestos del capítulo 6. Resultados de aprendizaje: 1) Resolver la Práctica del Capítulo 6.. |
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UNIDAD 7 Transformaciones lineales Objetivo: Reconocer una transformación lineal entre espacios vectoriales y conocer sus aplicaciones |
SESIÓN 1 Transformaciones lineales Objetivo: Conocer la definición de una transformación lineal, hallar su núcleo e imagen. Contenido: Definición de transformación lineal, Núcleo e imagen. Material de estudio: 1) Texto de Álgebra lineal. Capítulo 7. Antes de la clase: 1) Ninguna actividad Después de la clase: Resolver los ejercicios propuestos del capítulo 7. Resultados de aprendizaje: 1) Resolver la Práctica del Capítulo 7.. |
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SESIÓN 2 Transformaciones inversas Objetivo: Análizar la existencia de una transformación lineal y hallar un método para hallarla. Contenido: Teorema del núcleo, la Transformación inversa. Material de estudio: 1) Texto de Álgebra lineal. Capítulo 7. Antes de la clase: 1) Repasar el contenido de la sesión anterior. Después de la clase: Resolver los ejercicios propuestos del capítulo 7. Resultados de aprendizaje: 1) Resolver la Práctica del Capítulo 7. SESIÓN 3 Diagonalización de una transformación lineal Objetivo: Comprender el concepto de Operador lineal, hallar la diagonalización de una transformación. Contenido: Operadores lineales, diagonlización de una transformación lineal. Material de estudio: 1) Texto de Álgebra lineal. Capítulo 7. Antes de la clase: 1) Repasar el contenido de la sesión anterior. Después de la clase: Resolver los ejercicios propuestos del capítulo 7. Resultados de aprendizaje: 1) Resolver la Práctica del Capítulo 7. |
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UNIDAD 8 Factorización LU y factorización LR Objetivo: Aprender a factorizar una matriz. |
SESIÓN 1 Factorización A=LU Objetivo: Hallar la factorización de una matriz. Usar la factorización A=LU para resolver sistemas de ecuaciones. Contenido: Matrices elementales, construcción matrices L y U. Material de estudio: 1) Texto de Álgebra lineal. Capítulo 8. Antes de la clase: 1) Ninguna actividad Después de la clase: Resolver los ejercicios propuestos del capítulo 8. Resultados de aprendizaje: 1) Resolver la Práctica del Capítulo 8. |
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SESIÓN 2 Factorización PA=LR Objetivo: Hallar la factorización de una matriz cuando un cambio de filas es requerido. Usar la factorización PA=LU para resolver sistemas de ecuaciones.. Contenido: Matrices de permutación, construcción matrices P, L y R. Material de estudio: 1) Texto de Álgebra lineal. Capítulo 8. Antes de la clase: 1) Repasar el contenido de la sesión anterior. Después de la clase: Resolver los ejercicios propuestos del capítulo 8. Resultados de aprendizaje: 1) Resolver la Práctica del Capítulo 8. |
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UNIDAD 9 Matrices definidas positivas Objetivo: Distinguir la definición positiva, negativa o no definida de una matriz. |
SESIÓN 1 Matrices definidas positivas Objetivo: Entender el concepto de las matrices definidas positivas y entender sus aplicaciones. Contenido: Deefinición, formas cuadráticas, teoremas sobre autovalores y matrices reducidas. Material de estudio: 1) Texto de Álgebra lineal. Capítulo 9. Antes de la clase: 1) Ninguna actividad Después de la clase: Resolver los ejercicios propuestos del capítulo 9. Resultados de aprendizaje: 1) Ninguno. |
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UNIDAD 10 Aplicaciones Objetivo: Conocer algunas aplicaciones prácticas de la materia. |
SESIÓN 1 Regresión lineal Objetivo: Hallar la regresión lineal de una nube de datos. Contenido: Planteamiento del problema, armado del sistema de ecuaciones, construcción del teorema de regresión lineal. Material de estudio: 1) Texto de Álgebra lineal. Capítulo 10. Antes de la clase: 1) Ninguna actividad Después de la clase: Resolver los ejercicios propuestos del capítulo 10. Resultados de aprendizaje: 1) Resolver la Práctica del Capítulo 10. |
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SESIÓN 2 Cadenas de Markov Objetivo: Conocer las matrices de Markov y su aplicación en procesos iterativos. Contenido: Matrices de Markov, estados del sistema, estado estacionario. Material de estudio: 1) Texto de Álgebra lineal. Capítulo 10. Antes de la clase: 1) Repasar el contenido de la sesión anterior. Después de la clase: Resolver los ejercicios propuestos del capítulo 10. Resultados de aprendizaje: 1) Resolver la Práctica del Capítulo 10. |
METODOLOGÍA
2) Para cada sesión on line, el alumno debe portar su computadora personal e ir trabajando a la par del docente, en la resolución de ejercicios clave y el uso del software como Excel y Python. Esta división de la clase logra que el alumno acelere el proceso de enseñanza-aprendizaje, y esté preparado para trabajar de forma asincrónica después de la clase. Los estudiantes deben procurar participar activamente en las dos partes de la sesión.
Para cada uno de los días de examen, cada alumno deberá presentar una práctica en la que presente la resolución de los ejercicios planteados en el texto de la materia. Esta práctica tendrá un valor de 10 puntos en la nota.
Cada estudiante deberá enviar, cada día y en un plazo máximo acordado, el o los ejercicios propuestos por el docente. La suma de estas entregas tendrá un valor de 10 puntos en la nota.
EVALUACIÓN
Primera evaluación parcial (30%): Prácticas y Cuestionarios (20 puntos). Examen Parcial (80 puntos)
Segunda evaluación parcial (30%): Prácticas y Cuestionarios (20 puntos). Examen Parcial (80 puntos)
Evaluación final (40%): Prácticas y Cuestionarios (20 puntos). Examen Parcial (80 puntos)
CRONOGRAMA
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N° |
Fecha |
Unidad |
Contenido |
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1 |
16/05/2022 |
1 |
Operaciones básicas de matrices |
|
2 |
17/05/2022 |
1 |
Reducción de Gauss |
|
3 |
18/05/2022 |
2 |
Determinante y rango de una matriz |
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4 |
19/05/2022 |
||
|
5 |
20/05/2022 |
3 |
Teorema sobre existencia de soluciones |
|
6 |
23/05/2022 |
||
|
7 |
24/05/2022 |
3 |
Solución completa de un sistema de ecuaciones |
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8 |
25/05/2022 |
3 |
Problemas con sistemas de ecuaciones |
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9 |
26/05/2022 |
3 |
Criptografía |
|
10 |
27/05/2022 |
|
Ejercicios |
|
11 |
30/05/2022 |
|
Primer parcial |
|
12 |
31/05/2022 |
4 |
Espacios y subespacios vectoriales |
|
13 |
01/06/2022 |
4 |
Combinación lineal, espacios generados y dependencia lineal |
|
14 |
02/06/2022 |
||
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15 |
03/06/2022 |
4 |
Base y dimensión de un espacio vectorial |
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16 |
06/06/2022 |
||
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17 |
07/06/2022 |
5 |
Espacios prroducto interno, norma y proyección ortogonal. |
|
18 |
08/06/2022 |
||
|
19 |
09/06/2022 |
6 |
Autovalores y autovectores |
|
20 |
10/06/2022 |
6 |
Diagonalización y bases ortonormales |
|
21 |
13/06/2022 |
Ejercicios |
|
|
22 |
14/06/2022 |
|
Segundo parcial |
|
23 |
15/06/2022 |
7 |
Transformaciones lineales |
|
24 |
17/06/2022 |
7 |
Núcleo e Imagen de una transformación |
|
25 |
20/06/2022 |
7 |
Transformación inversa |
|
26 |
22/06/2022 |
7 |
Diagonalización |
|
27 |
23/06/2022 |
8 |
Factorización LU |
|
28 |
24/06/2022 |
8 |
Factorización LR |
|
29 |
27/06/2022 |
9 |
Matrices definidas positivas |
|
30 |
28/06/2022 |
10 |
Regresión lineal |
|
31 |
29/06/2022 |
10 |
Cadenas de Markov |
|
32 |
30/06/2022 |
|
Tercer parcial |
FUENTES DE INFORMACIÓN Y REFERENCIAS:
Videos:
FECHAS DE EVALUACIONES DE EXAMENES PARCIALES
Primer Parcial: Lunes 30 de Mayo
Segundo Parcial: Martes 14 de Junio
- Operaciones elementales : Operaciones básicas de matrices
- Reducción de Gauss: Reducción de Gauss.
- Determinantes,
- Determinantes, video 2: Determinantes video 2
- Teorema existencia de soluciones: Teorema de existencia de soluciones
- Solución completa de un sistema: Solución completa de un sistema
- La matriz inversa: La matriz inversa
- Problemas de sistemas: Problemas de sistemas
- Espacios y subespacios vectoriales: Espacios y subespacios
- Combinación lineal: Combinación lineal
- Bases y dimensión: Bases y dimensión
- Espacios producto interno: Espacios producto interno
- Proyección ortogonal: Proyección ortogonal
- Autovalores y autovectores: Autovalores y autovectores
- Transformaciones lineales: Transformaciones lineales
- La transformación inversa: La transformación inversa
- Factorización A=LU: Factorización A=LU
- Factorización PA=LR: Factorización PA=LR
- Matrices definidas positivas: Matrices definidas positivas
- Regresión lineal: Regresión lineal
- Cadenas de Markov: Cadenas de Markov
- Tercer Parcial: Jueves 30 de Junio
Fecha examen parcial 1: 30/05/22
Fecha examen parcial 2: 14/06/22
Fecha examen parcial Final: 30/06/22
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
VIII. FUENTES DE INFORMACIÓN
| Existe en Biblioteca UPB | Entrega Físico | Entrega en Plataforma Virtual | |
| Algebra Lineal, Santiago Relos, 10a Ed. Cochabamba Bolivia | | ||
| ALGEBRA LINEAL, KOLMAN BERNARD, 2006 | | | |
| Existe en Biblioteca UPB | Entrega Fisico | Entrega en Plataforma Virtual | |
| ALGEBRA LINEAL, GROSSMAN STANLEY, 2012 | | ||
Jefe de Carrera o Departamento que aprueba este sílabo: SORUCO SOLIS ROBERTO
Fecha de aprobación del sílabo: 16/05/22